《高等數學(xué)》針對高等學(xué)校本科生編寫(xiě)的數學(xué)教材，內容架構從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，全書(shū)共12章，分上、下兩冊出版。本書(shū)為下冊，共5章，主要內容包括空間解析幾何、多元函數微分法及其應用、重積分、曲線(xiàn)積分與曲面積分、無(wú)窮級數，每一章除具體知識點(diǎn)講解外，還增設復習題板塊，書(shū)末還附有積分表及習題參考答案，可幫助學(xué)生及時(shí)鞏固應用理論知識。本教材覆蓋知識點(diǎn)全面、講解通俗易懂、試題類(lèi)型豐富，可更好地滿(mǎn)足教學(xué)需要，幫助學(xué)生獲得良好的學(xué)習效果。

黃文韜，教授，博士生導師，廣西師范大學(xué)黨委常委、副校長(cháng)，中國生物數學(xué)學(xué)會(huì )副理事長(cháng)，廣西數學(xué)會(huì )副理事長(cháng)。主要從事微分方程定性理論、計算機符號計算研究。近年來(lái)發(fā)表學(xué)術(shù)論文50余篇，其中SCI收錄30余篇，出版專(zhuān)著(zhù)2部，教材4部，主持國家自然科學(xué)基金2項，主持完成廣西自然科學(xué)基金2項。

第8章 空間解析幾何

第9章 多元函數微分法及其應用

第10章 重積分

第11章 曲線(xiàn)積分與曲面積分

第12章 無(wú)窮級數

數學(xué)實(shí)驗（下）

習題答案

前言

《高等數學(xué)》作為理工科學(xué)生的必修基礎課程之一，歷來(lái)是培養學(xué)生數學(xué)素養、邏輯思維能力和科學(xué)研究能力的重要途徑. 隨著(zhù)科技的飛速進(jìn)步和社會(huì )的發(fā)展，這門(mén)課程的教學(xué)內容與方法也在不斷地變化和拓展. 本書(shū)分為上、下兩冊，上冊?xún)热莅ㄒ辉⒎e分學(xué)與常微分方程，下冊則涵蓋空間解析幾何、多元微積分學(xué)與級數等內容. 本書(shū)既可作為普通高等學(xué)校理工科專(zhuān)業(yè)的本科教材，也可作為教學(xué)參考書(shū).

在當今高等數學(xué)的教材市場(chǎng)中，已經(jīng)存在諸多質(zhì)量較高的教材. 然而，隨著(zhù)新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的推進(jìn)，傳統的教學(xué)內容和方式也面臨著(zhù)更新與革新的需求. 在這種時(shí)代背景下，我們編寫(xiě)本書(shū)，旨在為數學(xué)教育和人才培養提供一種新的選擇. 具體來(lái)說(shuō)，以下幾個(gè)方面的考慮促使了本書(shū)的誕生.

第一，在全球科技迅猛發(fā)展的今天，數學(xué)作為科學(xué)的基礎工具，在推動(dòng)技術(shù)創(chuàng )新、產(chǎn)業(yè)升級、社會(huì )進(jìn)步方面發(fā)揮著(zhù)不可或缺的作用. 國家提出以“新”提“質(zhì)”，以“數”賦能新質(zhì)生產(chǎn)力的戰略目標，強調數學(xué)教育要注重創(chuàng )新性、實(shí)用性和社會(huì )應用，培養具備跨學(xué)科視野和實(shí)踐能力的高素質(zhì)人才. 本書(shū)編寫(xiě)之初，即立足于數字技術(shù)日新月異的發(fā)展趨勢，力求將現代數學(xué)方法與實(shí)際產(chǎn)業(yè)需求結合，為學(xué)生提供具有前瞻性的數學(xué)教育內容，為他們成為適應新技術(shù)時(shí)代的創(chuàng )新型人才打下基礎.

第二，課程思政已成為教育體系中的重要組成部分，數學(xué)作為一門(mén)基礎學(xué)科，也不應置身事外. 本書(shū)在內容設計上，從方法論和辯證統一的角度，努力深挖數學(xué)與思政教育的結合點(diǎn). 我們不僅關(guān)注學(xué)生數學(xué)知識的掌握，還注重培養學(xué)生正確的世界觀(guān)、人生觀(guān)和價(jià)值觀(guān). 通過(guò)將思想政治教育有機融入數學(xué)教學(xué)，我們旨在啟發(fā)學(xué)生樹(shù)立正確的人生理想、社會(huì )責任感與使命擔當，激發(fā)他們?yōu)閲液蜕鐣?huì )做貢獻的意識. 同時(shí)，本書(shū)通過(guò)對數學(xué)思想和方法的剖析，提升學(xué)生的批判性思維和創(chuàng )新意識，致力培養他們成為有理想、有信仰、有擔當的新時(shí)代青年.

第三，信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，尤其是計算機與互聯(lián)網(wǎng)的普及以及人工智能的發(fā)展，帶來(lái)了教育模式的深刻變革. 在這種背景下，本書(shū)在內容編排上力求既扎根基礎，又面向應用，兼顧數學(xué)思想和方法的傳授. 同時(shí)，注重數學(xué)的幾何背景與實(shí)際意義，以確保學(xué)生不僅掌握數學(xué)方法，更能理解其背后的思想. 為了滿(mǎn)足新時(shí)代教育的需求，進(jìn)一步提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題和動(dòng)手操作的能力，本書(shū)特別增加了Python 數學(xué)實(shí)驗的內容，注重信息技術(shù)與數學(xué)的結合，支持學(xué)生利用Python 等工具進(jìn)行數學(xué)實(shí)驗，探索數學(xué)在現實(shí)世界中的應用. 通過(guò)實(shí)踐性強的數學(xué)實(shí)驗，學(xué)生不僅能更好地掌握數學(xué)的基本概念，還能親身體驗數學(xué)在現實(shí)問(wèn)題中的應用，增強動(dòng)手能力和創(chuàng )新思維. 人工智能的發(fā)展，特別是DeepSeek、豆包、Kimi等大模型的應用，為數學(xué)教育注入了全新活力. 這些大模型具備強大的數據分析、智能解答以及模擬演示能力，能夠為學(xué)生提供多元化的學(xué)習輔助. 但我們建議，在高等數學(xué)基礎知識的學(xué)習階段，學(xué)生應避免過(guò)度依賴(lài)大模型，以防造成思維惰性，削弱創(chuàng )新能力. 在獨立完成解題、建模、分析等任務(wù)后，學(xué)生可利用大模型進(jìn)行驗證和比較，將其作為一種高效的輔助工具.

第四，當今社會(huì )對高素質(zhì)應用型人才的需求日益增加，數學(xué)作為基礎學(xué)科，其應用價(jià)值也愈加突出. 本書(shū)在注重理論知識講解的同時(shí)，也關(guān)注數學(xué)在實(shí)際工程、技術(shù)及科學(xué)研究中的應用. 我們不僅強調數學(xué)的普遍性與抽象性，還在書(shū)中加入了大量與實(shí)際問(wèn)題相關(guān)的案例和習題，力求讓學(xué)生在學(xué)好數學(xué)基礎的同時(shí)，初步具備利用數學(xué)作為工具解決實(shí)際問(wèn)題，特別是工程問(wèn)題、科學(xué)研究問(wèn)題的能力. 通過(guò)對數學(xué)方法的應用和實(shí)踐，學(xué)生將能夠更好地應對未來(lái)職業(yè)生涯中的挑戰，尤其是在科技創(chuàng )新、工程技術(shù)、數據分析等領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用.

總之，《高等數學(xué)》作為一門(mén)經(jīng)典的基礎課程，不僅關(guān)乎學(xué)科知識本身的傳授、創(chuàng )新，更承載著(zhù)國家對未來(lái)人才的培養使命. 希望本書(shū)能夠幫助學(xué)生在數學(xué)的海洋中遨游，激發(fā)他們的探索精神，培養他們的創(chuàng )新能力和批判性思維，為未來(lái)的科學(xué)技術(shù)發(fā)展和社會(huì )進(jìn)步貢獻力量.

本書(shū)的編寫(xiě)工作安排如下：第1~2章由李紹剛和劉期懷老師負責，第3章由蔣利華老師負責，第4章由林昕茜老師負責，第5 章由楊龍老師負責，第6 章由熊峰和黃逸飛老師負責，第7 章由李光云老師負責，第8章由齊恩鳳老師負責，第9 章由陳翠玲和吳果林老師負責，第10 章由李玉山老師負責，第11 章由徐勐戩老師負責，第12 章由黃良力和郭述鋒老師負責，數學(xué)實(shí)驗由黃文韜、何東平和黃婷老師負責. 最后由黃文韜和劉期懷老師進(jìn)行統稿. 本教材編寫(xiě)工作得到了廣西師范大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院、桂林電子科技大學(xué)數學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院和桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)院領(lǐng)導和老師們的大力支持和幫助，在此一并表示誠摯的感謝.

限于編者水平，書(shū)中難免存在疏漏之處，懇請廣大讀者批評指正.

編 者

2025年6月

針對高等學(xué)校本科生編寫(xiě)的數學(xué)教材，覆蓋知識點(diǎn)全面、講解通俗易懂、試題類(lèi)型豐富，可更好地滿(mǎn)足學(xué)習高等數學(xué)的需要。

空間解析幾何主要研究空間中的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的關(guān)系和性質(zhì)，這些關(guān)系和性質(zhì)可以通過(guò)代數方程來(lái)描述. 這種用代數的方法研究幾何問(wèn)題的思想就是解析幾何的基本思想.

向量是連接代數和幾何的有效工具，建立了數與點(diǎn)之間的一一對應關(guān)系，實(shí)現了數與形的結合，使得人們既可以用代數方法研究解決幾何問(wèn)題，也可以用幾何方法解決代數問(wèn)題，極大地豐富了數學(xué)的研究?jì)热莺蛻梅秶?

電池健康狀態(tài)(state of health，SOH；實(shí)際容量/額定容量，取值為0～1)是新能源汽車(chē)電池性能的核心指標. 在新質(zhì)生產(chǎn)力驅動(dòng)的智能汽車(chē)產(chǎn)業(yè)中，企業(yè)需通過(guò)歷史數據(表實(shí)8.1)建立SOH與充放電循環(huán)次數的量化模型，以預測電池衰減趨勢，優(yōu)化充電策略和壽命管理.